Основной целью компьютерного моделирования упаковок дискретных сред является получение статистически адекватных закономерностей, численно описывающих процесс структурообразования реальных сыпучих материалов. Следовательно, для построения компьютерной модели дискретной среды необходимо знать морфологические и размерные параметры частиц, из которых состоит дискретная среда.
В таблице 1 перечислены основные методы определения размеров частиц в зависимости от диапазона измеряемых частиц.
Таблица 1 – Экспериментальные методы определения размеров частиц в зависимости от диапазона измеряемых частиц
Результаты дисперсионных анализов могут быть изображены графически в виде интегральных и дифференциальных кривых распределения частиц по размерам. На гранулометрическом графике по оси абсцисс откладывается линейный размер (d) измеряемых частиц. В случае интегрального графика распределения (рисунок 1) размеров частиц по оси ординат откладываются объемные доли (Q) частиц, размер которых меньше текущего. Таким образом, интегральная кривая распределения представляет собой некую функцию Q=f(d).
Рисунок 1 – Интегральная кривая распределения частиц по размерам
К примеру, если нас интересует объемная доля частиц порошка, размер которых меньше d1, то для этого необходимо найти на нижней шкале размер d1, провести вертикальную прямую из этой точки до пересечения с интегральной кривой распределения. Ордината полученной точки пересечения и покажет ту объемную долю, которую занимают частицы порошка, размер которых меньше d1, в данном случае это Q1. Интервалу размеров частиц от d1 до d2 соответствует интервал объемных долей от Q1 до Q2.
Если разбить интегральную кривую на интервалы по оси абсцисс (рисунок 2), отложив соответствующие ординаты точек пересечения вертикальных линий с интегральной кривой, то для каждого интервала Δdi мы получим ряд интервалов ΔQi, причем:
(1)
Рисунок 2 – Разбивка интегральной кривой распределения размеров частиц на интервалы
Интервалы объемных долей можно представить в виде столбиков с высотой Fi=ΔQi, в таком случае мы получим дифференциальную гистограмму распределения частиц по размерам (рисунок 3).
Рисунок 3 – Дифференциальная гистограмма распределения частиц по размерам
Соединив середины верхних оснований столбиков дифференциальной гистограммы распределения, мы получим плавную дифференциальную кривую. Она означает, что частицы со средними размерами, заключенными между правым и левым краем одного столбика (diср), занимают Fi, % по объему в измеряемом материале.
Часто при построении дифференциальной кривой распределения, на оси ординат откладывают не интервалы объемных долей Fi, а отношения ΔQi/Δdi. В полученной гистограмме площадь каждого прямоугольника представляет собой содержание фракции материала в пределах выбранного интервала размеров Δdi. Соединив плавной кривой середины верхних оснований прямоугольников, также получают дифференциальную кривую распределения, по которой можно определить dн.в. – наиболее вероятный диаметр частиц в данной дисперсной системе (рисунок 4).
Рисунок 4 – Дифференциальная кривая распределения частиц по размерам и наиболее вероятный диаметр частиц
Основными статистическими характеристиками дифференциальных кри-вых распределения частиц по размерам являются: среднее значение, медиана и мода распределения (рисунок 5).
Рисунок 5 – Основные статистические характеристики при нормальном или гауссовом распределении (а) и бимодальном распределении (б) частиц по размерам
Среднее значение – средний размер частиц, результат усредненных данных. Средние значения вычисляют для определенного набора частиц, например, d[1…4]. Для конкретного распределения средним является математическое ожидание/среднее арифметическое.
Медиана – это значение размера частиц, которое делит популяцию на две равные части, т.е. точка на дифференциальной кривой распределения, слева и справа от которой находится по 50 % распределения.
Мода – положение максимума дифференциальной кривой распределения, или наиболее вероятный в популяции размер частиц.
Для нормального распределения среднее, медиана и мода совпадают (рисунок 5.а). Однако, например, для бимодального распределения (рисунок 5.б) среднее находится в точности между двумя интервалами распределения. При этом частицы с диаметром, равным среднему отсутствуют. Медианный диаметр сдвинут в правую часть распределения. Дифференциальная кривая имеет два выраженных максимума (две моды). Наибольшая мода соответствует положению максимума правой части распределения. Данный пример демонстрирует, что среднее, мода и медиана – совершенно разные параметры, которые совпадают или близки лишь в исключительных случаях [1].
Библиографические ссылки:
[1] – Роул, А. Основные принципы анализа размеров частиц / А. Роул // Техническая аннотация Malvern Instruments Limited. 2009. 12 c.