Для моделирования механического поведения твердых частиц сыпучих материалов широко применяется метод частиц или метод дискретных элементов (МДЭ, DEM). Как принципиально дискретный метод, основанный на приложении законов Ньютона и контактной механики, он не имеет недостатков континуальных (непрерывных) моделей, проявляющихся при нарушении сплошности вещества или в результате дискретности его внутренней структуры. Высокая эффективность этого метода обусловлена его универсальностью, относительно невысокой стоимостью вычислительных экспериментов по сравнению с натуральными и практически неограниченными возможностями диагностики моделируемых явлений.
Гранулированный материал представляется совокупностью из N обособленных упругих частиц сферической формы радиуса Ri (рисунок 1.а). Согласно законам классической Ньютоновской механики, движение каждой i-й частицы полностью определяется координатами ее центра тяжести xi и углом поворота θi вокруг центра тяжести как жесткого целого (i=1,…,N).
Система уравнений движения для каждого элемента в прямоугольной декартовой системе координат имеет следующий вид:
(1)
(2)
(3)
(4)
Согласно Дж. Герцу, упругая часть силы Fn,ij равна:
(5)
Рисунок 1 – Задание параметров для описания контакта, δij – величина перекрытия частиц:
геометрия модели (а); силы, действующие на контакте (б)
Вязкая составляющая силы отталкивания определяется из соотношения:
(6)
Сила трения Ft,ij направлена против движения i-й частицы относительно j-й, а ее величина определяется соотношением:
(7)
Таким образом, система дифференциальных уравнений второго порядка (1–2) относительно неизвестных xi, θi и соотношения (3–7) полностью определяют движение и соударение совокупности упругих частиц, моделирующих дискретную среду [1].
Метод дискретных элементов реализуется как на плоскости (рисунок 2), так и в трехмерной системе координат (рисунок 3).
Рисунок 2 – Реализация метода дискретных элементов на плоскости
Рисунок 3 – Модель плотной упаковки сфер по методу дискретных элементов: 10000 частиц (а); 30000 частиц (б)
Наиболее известны следующие программы, реализующие метод дискретных элементов: Chute Maven (Hustrulid Technologies Inc.), PFC2D и PFC3D, EDEM (DEM Solutions Ltd.), GROMOS-96, ELFEN, MIMES, PASSAGE®/DEM [2].
Библиографические ссылки:
[1] – Клишин, C.B. Применение метода дискретных элементов при анализе гравитационного движения гранулированного материала в сходящемся канале / C.B. Клишин // Горный информационно-аналитический бюллетень.(научно-технический журнал), 2009, №12, С.273-277.
[2] – Арсентьев, В.А. Методы динамики частиц и дискретных элементов как инструмент исследования и оптимизации процессов переработки природных и техногенных материалов / В.А. Арсентьев, И.И. Блехман, Л.И. Блехман, Л.А. Вайсберг, К.С. Иванов, А.М. Кривцов // Обогащение руд. 2010. № 1. С. 30–35.