Математическое планирование экспериментов

При проведении научных экспериментов и технологических расчетов наряду с субстанционным (изготовление физического образца материала) и структурно-имитационным (имитация взаимодействия структурных элементов системы) моделированием широко применяется функциональное моделирование, результатом которого является получение некой математической функции, описывающей поведение объекта исследования, абстрагируясь от внутренней структуры вещественного субстрата. Функциональная модель работает по принципу «черного ящика», при этом известны параметры «входа» – переменные или постоянные факторы, а также, параметры «выхода» – критерий эффективности, отклик и т.д. [1, 2, 3]. К примеру, построение функциональных моделей эксперимен-тальных зависимостей свойств бетона от его состава включает в себя следующие этапы:

  • уточнение в зависимости от конкретной задачи оптимизируемых параметров (прочности бетона, удобоукладываемости бетонной смеси и др.);
  • выбор факторов, определяющих изменчивость оптимизируемых параметров; ‒ определение основного исходного состава бетонной смеси; ‒ выбор интервалов варьирования факторов;
  • выбор плана и условий проведения эксперимента;
  • обработка результатов эксперимента с построением математических моделей зависимостей свойств бетонной смеси и бетона от выбранных факторов.

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Рассмотрим процесс математического планирования и обработки данных факторного эксперимента с применением программно-алгоритмических средств на примере компьютерной программы «PlanExp B-D13», разработанной в среде программирования Microsoft Visual Basic 6.0. Разработанный программный продукт позволяет производить моментальный расчет плана эксперимента по заданным переменным факторам, рассчитывать коэффициенты уравнения математической модели, проводить статистическую оценку адекватности математической модели, строить диаграммы линий равного уровня с возможностью обнаружения точки экстремума, а также, автоматически формировать отчет по итогам эксперимента. Программа ориентирована на работу с трехфакторным планом эксперимента B-D13, который позволяет получать нелинейные квадратичные модели, и обладает хорошими статистическими характеристиками.

Алгоритм программы включает основные процедуры – процедуру расчета коэффициентов функции отклика, процедуру статистической обработки и процедуру визуализации математической модели. Все основные вычисления производятся циклично, что позволяет моментально перестраивать математическую модель, изменяя входные данные. Кроме того, алгоритм включает вспомогательную процедуру, обеспечивающую проверку синтаксической правильности вводимых данных. При допущении ошибок ввода данных программа корректирует действия пользователя средствами текстового оповещения.

Интерфейс программного продукта реализован в виде логических блоков, позволяющих вводить исходные данные и изменять параметры вывода математической модели в интерактивном режиме (рисунок 1).

Рисунок 1 – Интерфейс программы обработки данных трехфакторных планированных экспериментов

Опишем порядок работы с программой на примере планированного эксперимента по исследованию зависимости прочности бетона от рецептурных факторов.

В первом логическом блоке устанавливаются входные факторы эксперимента. В эксперименте варьируются: количество вяжущей части бетона; содержание наполнителя и количество добавки – гиперпластификатора. Значения факторов задаются в натуральном виде (граммы, проценты и т.д.). Пользователь заполняет текстовые поля – основной уровень факторов, интервал варьирования и наименование фактора (рисунок 2).

Рисунок 2 – Блок ввода значений входных факторов

В расчете факторного плана значения уровней входных факторов принимаются в кодированном виде, при этом, основной уровень (центр плана) каждого фактора обозначается как «0», а нижний и верхний уровни: «–1» и «+1» соответственно. Пересчет заданных пользователем натуральных значений факторов производится путем линейной интерполяции значений:

(1)

где xi – значение i-го фактора в кодированном виде, Xi – значение i-го фактора в натуральном виде, ΔXi – интервал варьирования i-го фактора.

В текущем примере в эксперименте контролируется величина предела прочности бетона на сжатие (Rсж, МПа). Для определения воспроизводимости измерений выходного параметра необходимо проводить параллельные измерения. В программе допускается ввод выходных значений до трех параллельных замеров. Согласно плану эксперимента рассчитывается 10 опытов по 3 параллельных испытания в каждом. Выходные параметры, наименование выходного параметра и количество параллельных замеров устанавливаются пользователем во втором блоке (рисунок 3).

Рисунок 3 – Блок расчета плана эксперимента и ввода значений выходных параметров

После автоматической проверки введенных данных программа рассчитывает коэффициенты математической модели и выводит функцию отклика в третьем логическом блоке (рисунок 4).

Рисунок 4 – Блок вывода математической модели

После получения математической модели производится проверка значимости (отличия от нуля) коэффициентов модели и ее адекватность.

Адекватность (от лат. adaequatus – приравненный, равный) – соответствие, верность, точность. Точность измерения – характеристика измерения, отражающая степень близости его результатов к истинному значению измеряемой величины [4].

Проверка коэффициентов на значимость производится с помощью критерия Стьюдента (t-критерия), который рассчитывается по формуле:

(2)

где bi – i-й коэффициент математической модели, S{bi} – среднеквадратическое отклонение в определении коэффициентов.

Среднеквадратическое отклонение в определении коэффициентов функции отклика рассчитывается по формуле:

(3)

где Ci – величины, приведенные для плана B-D13 в таблице 1, Sв² – дисперсия воспроизводимости в параллельных опытах.

Таблица 1 – Величины Ci для плана B-D13

Дисперсия воспроизводимости в параллельных опытах рассчитывается по формуле:

(4)

где N – количество опытов в плане, m – количество параллельных измерений в каждом опыте, yuj – значение выходного параметра в u-ом опыте, j-ом параллельном замере, yu – среднее значение выходного параметра в u-ом опыте.

Расчетное значение t-критерия сравнивается с табличным tтабл для выбранного уровня значимости (как правило, 5 %) и данного числа степеней свободы N(m–1). При табл ti<tтабл коэффициент bi считается незначимым.

Проверка адекватности математической модели производится по критерию Фишера (F-критерий). Для этого вычисляется дисперсия адекватности по формуле:

(5)

где nз – количество значимых коэффициентов, yu – значение отклика, предсказанное по уравнению математической модели.

В свою очередь критерий Фишера рассчитывается как отношение:

(6)

Расчетное значение F-критерия сравнивается с табличным Fтабл для выбранного уровня значимости (как правило, 5 %) и чисел степеней свободы N(m–1) и (N–nз). При F<Fтабл уравнение математической модели считается адекватным. Результаты статистической обработки модели отображаются в четвертом логическом блоке (рисунок 5).

Рисунок 5 – Блок статистической обработки математической модели

В данном примере математическая модель прочности бетона признана адекватной по критерию Фишера (F=3,07 < Fтабл=3,1) и применима для решения рецептурно-технологических задач. Уравнение математической модели представляет собой квадратичную функцию трех переменных:

Поскольку для графической интерпретации функции трех переменных требуется четырехмерное пространство, с целью визуального упрощения и удобства работы с математической моделью функцию трех переменных необходимо преобразовать в функцию двух переменных, поочередно принимая константой один из факторов. В пятом логическом блоке программы представлены средства для преобразования уравнения регрессии в функцию двух переменных. Пользователь может установить постоянный фактор и задать его значение (в пределах интервала варьирования) в кодированном и натуральном виде (рисунок 6).

Рисунок 6 – Блок преобразования математической модели

В результате преобразования получаются три варианта математической модели:  y=f(x2,x3)  при  x1=const,  y=f(x1,x3)  при  x2=const  и  y=f(x1,x2) при x3=const. Для визуализации каждого из трех видов уравнений строится диаграмма линий равного уровня (изолиний), представляющая собой проекции трехмерных поверхностей на плоскости (x2; x3), (x1; x3) и (x1; x2). Таким  образом,  кривая  каждой  изолинии  строится  в  координатах  (x2, x3), (x1, x3) и (x1, x2), а ее построение производится по квадратичным функциям x2=f(x3), x1=f(x3) и x1=f(x2) соответственно (рисунок 7).

В шестом логическом блоке программы представлена интерактивная диаграмма изолиний, позволяющая пользователю снимать координаты факторного поля и значения выходного параметра в режиме реального времени.

Рисунок 7 – Диаграмма изолиний математической модели прочности бетона: x1=const (а), x2=const (б), x3=const (в)

Обработка данных планированного эксперимента завершается процедурой обнаружения экстремума функции отклика. Для определения координат точки экстремума производится автоматическое вычисление первой производной по каждому из значений факторов. Корни полученной системы уравнений представляют собой координаты точки экстремума исследуемого уравнения регрессии:

 

(7)

Программа оснащена дополнительными функциями загрузки/сохранения данных, а также функцией экспорта результатов расчетов в Microsoft Word. Используя полученное уравнение функции отклика, пользователь может произвести дополнительные построения в программе Microsoft Excel, например, построить поверхность отклика в трехмерной системе координат (рисунок 8.а), а также, построить сечения поверхности отклика, позволяющие проанализировать изменение выходного параметра в зависимости от одного переменного фактора (рисунок 8.б).

Рисунок 8 – Поверхность отклика (а) при x1=const и ее сечение (б) при x1=const и x2=const

Разработанное программное средство может применяться в любых научно-прикладных задачах по оптимизации свойств объекта исследования, подбора рецептуры и технологических параметров, где используется математическое моделирование методом ортогонального планирования экспериментов.

Библиографические ссылки:

[1] – Баженов, Ю.М. Модифицированные высококачественные бетоны / Ю.М. Баженов, В.С. Демьянова, В.И. Калашников // научное издание. – М.: Издательство Ассоциации строительных вузов. 2006. 368 с.

[2] – Григорьев, Ю.Д. Планы эксперимента для моделей регрессии типа сплайнов / Ю.Д. Григорьев // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. №11 (79). 2013.

[3] – Ординарцева, Н.П. Планирование эксперимента в измерениях / Н.П. Ординарцева // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. № 03 (79). 2013.

[4] – Советский энциклопедический словарь / под ред. А.М. Прохорова. –М.: Советская энциклопедия, 1980.