Перечисленные в предыдущих разделах алгоритмы структурно-имитационного моделирования упаковок дискретных сред имеют свои положительные стороны и недостатки. Выбор того или иного метода (алгоритма) компьютерного моделирования осуществляется исходя из условий конкретной решаемой задачи, а также возможностей реализации метода на каком-то определенном языке программирования. Определяющими критериями эффективности алгоритма моделирования является воспроизводимость результатов моделирования, а также корреляция значений модельной плотности упаковки с экспериментальными значениями, полученными при проведении физических экспериментов (например, бросание стальных шаров в емкость известного объема).
Рассмотрим два наиболее эффективных комбинированных метода компьютерного моделирования – метод гравитационной засыпки частиц в бункер с расчетом динамики частиц (метод дискретных элементов) и метод, в основе объединяющий алгоритм «сжатия» Любачевского-Стиллинжера и алгоритм «расталкивания» Жодре-Тори.
Первый метод является комбинацией алгоритма перекатывающихся частиц и метода дискретных элементов. Предлагаемый метод позволяет динамически моделировать движение каждой частицы, учитывая ее многократные столкновения со стенками бункера и другими частицами в течение всего процесса формирования упаковки. Бункер имеет кубическую форму с постоянным размером ребра. Количество частиц, вмещаемых в бункер, заведомо неизвестно. На начальном этапе моделирования генерируются случайные координаты частицы выше верхней кромки бункера. Затем отпущенная частица двигается в свободном падении в поле силы тяжести вдоль оси Y, то есть с постоянными координатами X0 и Z0 по аналогии с методом «Drop and Roll», причем угловая скорость частицы равна нулю. На частицы действуют силы тяжести, пропорциональные их объему. При достижении частицей препятствия физика взаимодействия определяется по принципу упругого соударения частиц, аналогично методу дискретных элементов. Формирование упаковки завершается закрытием верхней крышки бункера с небольшим сдавливанием системы. Данный алгоритм позволяет получать наиболее достоверные модели упаковок, плотность которых эквивалентна плотности упаковок частиц реальных физических моделей (к примеру, упаковок стальных шаров в емкости).
Второй метод основан на алгоритмах «сжатия» и «расталкивания». Бункер имеет кубическую форму. В данном методе не рассматривается динамическое движение частиц, система находится в статичном состоянии. Объем бункера изначально превышает окончательный объем упаковки. Количество частиц, вмещаемых в бункер, установлено изначально. Начальные координаты частиц случайны и находятся внутри границ бункера. Габариты бункера равномерно сжимаются до достижения плотности упаковки 100 %, при этом поверхности частиц перекрывают друг друга и стенки бункера. Объем бункера медленно расширяется, при этом каждая частица ищет свободную позицию (происходит взаимное противоположно направленное смещение частиц) в направлении уменьшения области перекрытия поверхностей (δ), таким образом, происходит «расталкивание» частиц. Формирование упаковки завершается, когда все частицы системы заняли свободные позиции, а перекрытия поверхностей исключены.
Для реализации методов используется язык программирования TGC Dark Basic Professional и высокопроизводительная технология моделирования физических явлений NVidia PhysX. Исходными данными для построения моделей служат геометрические характеристики упаковки – количество «фракций» в системе, количество частиц каждой «фракции», размеры и форма частиц. Интерактивные модели позволяют моделировать упаковки частиц различной геометрической формы (рисунок 1).
Рисунок 1 – Геометрическая форма частиц и формулы вычисления их объема
Для наглядности процесс моделирования можно отобразить на экране (рисунок 2). Выходными данными являются статистика упакованных частиц и величина плотности упаковки.
Рисунок 2 – Структурно-имитационные модели упаковок:
сфер (а), кубов (б) и сфероцилиндров (в) различных размеров
Предложенные алгоритмы структурно-имитационного моделирования имеют достаточно подробное научное обоснование, в ходе которого выявлена статистическая адекватность получаемых результатов [1, 2]. Получаемые с использованием предложенных методов моделирования результаты позволяют судить о характере изменения плотности упаковки как монодисперсных (рисунок 3) так и полидисперсных (рисунок 4) систем.
Рисунок 3 – Усредненные (для двух методов моделирования) зависимости плотности монодисперсной упаковки от численной концентрации частиц в элементарном объеме системы
Максимальный предел плотности упаковки для кубов и сфероцилиндров составляет 67 %, для сферических частиц – 64 %. Нарастающий характер плотности упаковки при малом количестве частиц в объеме системы обусловлен так называемым «эффектом стенок» – наличием повышенной пустотности между частицами вблизи стенок емкости. Данный эффект уменьшается при повышении дисперсности частиц и увеличении их численной концентрации в системе.
График, представленный на рисунке 4, иллюстрирует количественные характеристики компьютерных моделей в виде степенных зависимостей количества частиц от их дисперсности (в безразмерных единицах) для трех типов частиц при условии полного заполнения емкости частицами.
Рисунок 4 – Усредненные (для двух методов моделирования) зависимости количества частиц в монодисперсной упаковке от дисперсности частиц при условии полного заполнения емкости частицами
По модельным характеристикам можно утверждать, что предельное значение плотности упаковки (ϕmax) для неупорядоченных монодисперсных систем постоянно и достигается при увеличении дисперсности частиц. Неупорядоченные упаковки сфер представляют наибольший практический интерес, поскольку сферическая форма частиц учитывается в большинстве методик подбора оптимального гранулометрического состава сыпучих материалов, в том числе в уравнениях оптимальных кривых распределения полидисперсных систем.
В отличие от монодисперсных упаковок, плотность упаковки бидисперсных систем зависит от двух параметров – соотношения диаметров крупных и мелких сфер (α=dк/dм) и соотношения их объемных долей (k=xк/xм). На рисунке 5 представлены результаты вычислительного эксперимента, включающего 200 итераций – по 40 имитационных моделей для каждого из 5 параметров α. В моделях изменяется соотношение объемных долей k крупных и мелких частиц. Общее количество частиц во всех моделях составляет 5000. Компьютерные модели построены методом «сжатия-расталкивания».
Рисунок 5 – Зависимости плотности бидисперсной упаковки от объемной доли мелких частиц и соотношения диаметров
Экстремум плотности упаковки бидисперсных сфер (рисунок 5) существенно зависит от параметра α – чем больше соотношение диаметра крупных частиц к диаметру мелких, тем выше экстремум плотности упаковки. Также, при уменьшении параметра α наблюдается тенденция смещения максимума плотности упаковки в сторону равного соотношения объемных долей крупных и мелких частиц. При высоких значениях параметра α объемная доля мелких частиц, соответствующая максимальной плотности упаковки, приближается к теоретическому значению пустотности крупных сферических частиц, равному 26 %.
Участки AB кривых плотности упаковки характеризуют состояние бидисперсной системы, при котором мелкие частиц заполняют пустоты между крупными, не раздвигая их. С позиции пространственно-структурной топологии, на данном участке система уплотненного типа переходит в систему заполненного типа (точки B). Дальнейшее увеличение объемной доли заполняющих частиц (участки BC) приводит к переходу системы заполненного типа в систему раздвинутого типа.
Библиографические ссылки:
[1] – Белов, В.В. Компьютерное моделирование и оптимизирование составов строительных композитов: монография / В.В. Белов, И.В. Образцов. Тверь: ТвГТУ. 2014. 124 с.
[2] – Образцов, И.В. Оптимизация зерновых составов цементно-минеральных смесей для производства строительных композитов методами компьютерного моделирования: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. тех. наук (05.23.05 – Строительные материалы и изделия) / И.В. Образцов; рук. работы В.В. Белов. – Тверь, 2014. – 24 с.