Неупорядоченные плотные упаковки полидисперсных сферических частиц

Почти все реальные сыпучие системы являются полидисперсными или полимодальными. При этом различают системы с непрерывной гранулометрией (присутствуют частицы всех размеров) и прерывистой гранулометрией (отсутствуют частицы промежуточных размеров). Для расчета плотнейшей упаковки систем с непрерывным зерновым составом применяются уравнения так называемых оптимальных гранулометрических кривых [1].

Для построения оптимальных кривых просеивания может применяться известное уравнение, или интегральная функция распределения, предложенная Фуллером (1907) и Андреасеном (1930), имеющая вид:

(1)

где Ai – проход частиц, %, через условное сито размером di, мм; dmax – наибольший размер зерна в смеси, мм (или апертура верхнего сита); n – коэффициент распределения, равный по Фуллеру 0,5; по Андреасену (для пространственного распределения) – 0,37.

В 20-х годах ХХ века ученый М. Боломей предложил уравнение плотных смесей заполнителя для тяжелого бетона:

(2)

где B – коэффициент, вводимый в уравнение для расчета щебенистых и малопластичных смесей (B = 10), пластичных смесей с гравием (B = 12) или пластичных смесей со щебнем (B = 14); остальные обозначения те же, что и в уравнении Фуллера.

Тогда же Швейцарской федеральной лабораторией по испытанию материалов разработана кривая гранулометрического состава плотных смесей с уравнением:

(3)

Дорожные строители США в 20-х годах ХХ века пользовались уравнением Тэлбот-Ричарда (Гуммеля):

(4)

где m – экспериментально найденный показатель степени, изменяющийся в пределах от 0,46 до 0,52 (по Гуммелю – показатель степени m может колебаться от 0,1 до 1). При m = 0,5 получается уравнение Фуллера.

Применяются также кривые Китт-Пеффа с уравнением:

(5)

где dmin – наименьший размер зерна в смеси, мм; остальные обозначения те же, что и в формулах (1) и (2);

или кривые просеивания, предложенные Функом и Дингером (1994), уравнение которых имеет вид:

(6)

где обозначения те же, что и в формулах (1) и (5).

Уравнения оптимальных кривых просеивания дают только приблизительный состав максимальной упаковки частиц, что можно объяснить различной формой частиц реальной сыпучей системы. Приведенные уравнения описывают оптимальную кривую просеивания для систем со сферической формой частиц и не учитывают возможных отклонений от этой формы для реальных систем. Учет данного фактора может быть выполнен с помощью коэффициента формы зерна, который определяется как отношение площади поверхности эквивалентной сферы Фсф к площади поверхности частицы Фч равного объема, т.е.

(7)

Коэффициент формы сферы равен единице. При этом, чем сильнее форма частиц отличается от идеальной сферической формы, тем большую долю в зерновом составе должна занимать меньшая фракция.

Уравнение, описывающее оптимальную кривую просеивания по Функу/Дингеру с учетом коэффициента формы частиц, выглядит следующим образом:

(8)

где

 (9)

Коэффициент α для частиц реальных сыпучих систем по данным многих исследователей может изменяться в пределах от 0,08 до 0,14. Коэффициент α оказывает большее влияние на содержание мелких частиц. При этом использование значений α отличных от нуля позволяет учесть в реальной дисперсной системе, применяемой, например, в качестве заполнителя бетона, содержание мелких фракций, обычно не контролируемых при традиционных методах расчета бетонной смеси. В качестве тонкодисперсной части сырьевой смеси, учитываемой указанным коэффициентом, может также выступать вяжущее вещество (цементная составляющая).

Коэффициент распределения n оказывает влияние в основном на содержание частиц средних размеров, и на основании экспериментов можно утверждать, что более точные результаты получаются при использовании этого коэффициента, равного 0,5.

На рисунке 1 изображены оптимальные гранулометрические кривые.

Рисунок 1 – Оптимальные гранулометрические кривые

Библиографические ссылки:

[1] – Белов, В.В. Строительные композиты из оптимизированных минеральных смесей: монография / В.В. Белов, М.А. Смирнов. Тверь: ТвГТУ, 2012. 112 с.