Наряду с экспериментальными исследованиями в области гранулированных (зернистых) сред, важнейшим инструментом оптимизации является математическое компьютерное моделирование – имитационные методы: метод аналитических расчетов, метод динамики многих тел [1, 2, 3], методы конечных и дискретных элементов [4, 5 и др.], метод компьютерного моделирования гидродинамики потоков [6, 7], метод моделирования производственных процессов [4, 8, 9, 10]; интегрированные методы и подходы к решению оптимизационных задач [11].
Преимущество моделирования, когда вещество рассматривается как совокупность твердых частиц, раскрывается при необходимости учета влияния внутренней структуры материала на изучаемые процессы. Эффективность применения математического моделирования определяется возможностью нахождения уравнений, наиболее адекватно описывающих состояние материала и параметров моделирования для конкретной системы. Наилучший результат гарантируется комбинированием моделирования и экспериментальных методов [4, 12].
Несмотря на обилие известных методов моделирования упаковок сфер, часто приходится сталкиваться с материалами, в структуре которых преобладают частицы сложной формы. Упаковка частиц произвольной формы является ресурсоемкой задачей даже для современных компьютеров. Учитывая, что для достаточной точности моделирования требуется не менее 100000 частиц, подобные задачи могут решаться лишь на многопроцессорных компьютерах. Другим подходом к решению задачи упаковки частиц сложной формы может быть очередное приближение, не такое простое как сфера, но не столь сложное, как реальная частица, например, сфероцилиндр (рисунок 1) – капсулообразное геометрическое тело, представляющее собой цилиндр с двумя полусферическими торцами [13].
Рисунок 1 – Модель случайной упаковки сфероцилиндров
На рисунке 2 показаны модели систем с различной геометрической формой частиц.
Рисунок 2 – Модели систем с различной геометрической формой частиц: «центральная» упаковка длинных сфероцилиндров (а); «центральная» упаковка сфероквадратов (б); «центральная» упаковка сферокубов (в); «горизонтальная» упаковка сфероцилиндров (г); «горизонтальная» упаковка сфероквадратов (д); «горизонтальная» упаковка сферокубов (е); «горизонтальная» полидисперсная упаковка кубов (ж); «вертикальная» полидисперсная упаковка сфероцилиндров (з); «вертикальная» упаковка длинных сфероцилиндров (и)
Подходы, основанные на результатах изучения случайных упаковок, вносят определенный вклад в понимание закономерностей возникновения беспорядка в твердых телах. Так, например, выявлено, что плотноупакованные системы могут находиться в двух различных состояниях: связанном (dense random packing, DRP), а также в виде случайной свободной упаковки (random loose packing, RLP). Здесь, под DRP-упаковкой понимается наиболее плотная случайная упаковка системы частиц, а под RLP-упаковкой – система частиц, находящаяся в состоянии, которому соответствует наименьшая плотность упаковки [14].
Методы формирования случайных упаковок можно разделить на два класса: динамические методы сжатия случайной свободной конфигурации или расширения системы частиц, а также методы последовательного заполнения некоторого пространства в центральном или одноосном силовом поле.
Динамические методы. В большинстве исследований, в качестве основы для динамического метода, принято использовать метод дискретных элементов (DEM) как непосредственно для подготовки начального расположения частиц, так и для генерации упаковок. Общий подход, при применении динамических методов, состоит в том, чтобы поместить необходимое число частиц, с диаметрами, намного меньшими, чем их конечный размер, в область установки. Затем диаметры частицы постепенно увеличивают до тех пор, пока не будет достигнуто плотное расположение частиц. Другой вариант подобного подхода, состоит в назначении конечного размера частиц, помещенных в установочную область, стенки которой медленно смещаются внутрь до тех пор, пока необходимая плотность не будет достигнута. Оба способа приводят к практически одинаковым конфигурациям систем частиц. В ряде случаев принято использовать подход, который состоит в моделировании некоторого гравитационного смещения частиц начальной затравки. При этом, частицы определенного размера, попадая в установочную область, находят позицию равновесия, находясь под воздействием гравитационной силы. В динамических методах движение каждой частицы должно моделироваться с учетом многократных столкновений частиц в течение всего процесса уплотнения, что приводит к большим временным затратам. Кроме того, данные методы также не позволяют выполнять управление состоянием плотноупакованной системы частиц.
Методы последовательного заполнения. Другая группа подходов, названных методами последовательного заполнения, рассматривает системы, подготовленные путем геометрических вычислений, без моделирования динамики частиц. Все методы последовательного заполнения можно, в свою очередь, подразделить на методы перестановок и роста. В научной литературе описаны несколько методов перестановок, используемых при формировании случайных упаковок одно- и многокомпонентных систем частиц. Обзоры таких методов можно найти в работах Д. Стояна (Stoyan). Самыми известными из них являются: модель Стиенена, модель прудовых лилий, простая модель последовательного запрета и алгоритм Метрополиса-Гастинга. В модели Стиенена (Stienen) процесс подготовки упаковки начинается со случайного размещения центров частиц в 2D или 3D-мерной области установки. Область установки может иметь любую геометрическую форму – прямоугольный бункер или сфера [15]. Каждая частица в упаковке определена с радиусом, равным половине расстояния между ней и ее ближайшим соседом. Полученные частицы системы в этом случае могут обладать либо одним контактом с соседней частицей, либо вообще не иметь каких-либо контактов. Модель «водоем лилий» также основана на генерации ряда беспорядочно расположенных центров частиц. Частицы первоначально определены с нулевым радиусом. Радиусы частиц постепенно увеличивают и рост определенной частицы останавливается, когда она входит в контакт с другой частицей. Здесь уже каждая частица имеет, по крайней мере, хотя бы один контакт с соседней частицей. Распределение размера частицы в представленных моделях не может быть заранее определено, можно оказывать влияние только в начальный момент, при определении местоположения генерируемых центров частиц. Также данные модели нельзя применять для моделирования моносистем частиц.
Простая модель последовательного запрета SSI (Simple Sequential Inhibition) определена следующим образом. Частицы одинакового диаметра помещаются случайным образом в область установки. Если новая частица, помещенная таким способом, пересекается с ранее установленной, то данная частица будет отклонена. Процесс останавливается, когда вся установочная область будет заполнена частицами. Отметим, что данный метод генерирует системы частиц, которые практически не имеют никаких контактов друг с другом.
Алгоритм Метрополиса-Гастинга или его различные версии является более эффективным, чем рассмотренные ранее. Сущность метода следующая. Существует начальное случайное расположение частиц в области установки. Возможно, что при этом, несколько частиц оказались расположены далеко друг от друга в установочной области. Следующее состояние упаковки достигается путем вставки, удаления или перемещения частиц, с определенными вероятностями, которые могут быть предписаны пользователем. Расположения принимаются с вероятностями, названными отношениями Гастингса, которые отличны для операций вставки, удаления и перемещения частиц. В случае отклонения расположение частиц системы остается неизменным. Все вышеупомянутые методы приводят к упаковкам с довольно низкими плотностями упаковки и координационными числами.
Можно также отметить различные коллективно-перестановочные методы. В данных методах число частиц заранее определено в течение процесса подготовки. Первоначально частицы помещены беспорядочно в установочную область. Наложения разрешаются, но их величина уменьшается в течение процесса, путем перемещения, а иногда и изменением размера частиц. При каждом шаге смещения частиц вычисляется от значений величины наложений с ее соседями, подобно динамическим методам. Следовательно, эти алгоритмы также являются довольно затратными по времени.
Методы роста, например, позволяют получить более плотные расположения. Типичное выполнение производится следующим образом. Упаковки моделируются очень медленной установкой твердых частиц в беспорядочно упакованный слой. Частицы вводятся по одной в потенциальной области падения или перекатывания. Каждый последующий шаг помещает новую частицу в область установки, и переводит ее вниз, пока она не занимает один из доступных ей участков. Позиция поступающей частицы вычисляется чисто геометрически, без анализа динамики системы. Периодические граничные условия устраняют воздействие пристенного эффекта, а начальный слой задает случайность расположения частиц на первом этапе формирования упаковки. Сохранение координат частиц упрощает последующий анализ для близко установленных соседей. В методах роста диаметры частиц могут быть одинаковыми, или могут определяться на основе любого распределения.
Одним из наиболее распространенных является метод (алгоритм) Любачевского и Стиллингера: задается случайное расположение частиц в расчетной области (частицы изначально имеют нулевой радиус), а также их скорость и направление движения; частицы движутся в расчетной области в соответствии с законами ньютоновской механики, постепенно увеличиваясь в размерах до номинальных значений (или до тех пор, пока дальнейшее движение не станет невозможным) [16, 17, 18].
Другой распространенный метод – метод редуцированной размерности, был предложен Дэвисом и Картером. В нем сферические частицы помещаются в цилиндрический «стакан» со случайно выбранными координатами, а расстояния между частицами принимают минимальные значения, при которых не возникает пересечения между частицами. Данный метод можно усовершенствовать, добавив к падению частицы возможность ее перекатывания по другим частицам до достижения устойчивого положения.
Более простой метод, вязкой суспензии, разработан С.А. Рашковским: задается случайное расположение частиц в расчетной области (допускается, чтобы частицы пересекали друг друга); на пересекающиеся частицы действуют центральные силы отталкивания, которые приводят частицы в движение; система частиц эволюционирует до тех пор, пока пересечения не будут устранены.
Стоит также отметить подход, в котором частицы одна за другой вводятся в расчетную область, при этом на каждой итерации частицы перемещаются на малое расстояние в произвольном направлении, если при этом не возникает пересечений. Отличительной особенностью данного алгоритма является дискретизация частиц на прямоугольной сетке, что позволяет моделировать упаковки частиц произвольной формы.
Недостатком всех перечисленных моделей является то, что в формируемую упаковку затруднительно внести какие-либо особенности (например, получить ровный ряд частиц на границе расчетной области, что имеет место в зарядах твердого топлива). Также, все алгоритмы, кроме последнего, плохо обобщаются на случай частиц сложной формы [18].
Библиографические ссылки:
[1] – Берлин, А.А. Имитация свойств твердых тел и жидкостей методами компьютерного моделирования / А.А. Берлин, Н.К. Балабаев // Физика. Соровский образовательный журнал. №11. 1997. с.85-92.
[2] – Binder, K., Heermann D.W. Monte Carlo Simulation in Statistical Physics / K. Binder, D.W. Heermann // An Introduction. London-NY.: Springer. 2010. 200 p.
[3] – Satoh, A. Introduction to Practice of Molecular Simulation: Molecular Dynamics, Monte Carlo, Brownian Dynamics, Lattice Boltzmann and Dissipative Particle Dynamics / A. Satoh // Elsevier, 2011. 322 p.
[4] – Пальцер, У. Компьютерное моделирование в производстве бетонных изделий / У. Пальцер, Й.Г. Швабе // Бетон и Железобетон. 2010. 20-22.
[5] – Харитонов, А.М. Структурно-имитационное моделирование в исследованиях свойств цементных композитов: автореф. дис. на соискание ученой степени доктора тех. наук (05.23.05 – Строительные материалы и изделия) / А.М. Харитонов; науч. консультант П.Г. Комохов. — С.-Петербург, 2009. — 38 с.
[6] – Дорофеенко, С.О. Численное моделирование течения бидисперсного сыпучего материала в реакторе шахтного типа / С.О. Дорофеенко // Теоретические основы химической технологии. 2007. Том 41. №6. С. 625-629.
[7] – Кучин, И.В. Моделирование процессов структурообразования в дисперсных системах / И.В. Кучин, Н.Б. Урьев // Журнал физической химии. 2007. Том 81. №3. с.421-425.
[8] – Bullard, J.W. The Virtual Cement and Concrete Testing Laboratory Consortium / J.W. Bullard // Annual Report, January 2003, pp. 1-39.
[9] – Hu, J. Shape Characterization Of Concrete Aggregate / J. Hu, P. Stroeven. // Image Anal Stereol, 25, 2006; pp. 43-53.
[10] – Stroeven, P. Virtual Reality Studies of Concrete / P. Stroeven, L.J. Sluys, Z. Guo, M. Stroeven. // Forma, 21, 2006, pp. 227–242.
[11] – Кондращенко, В.И. Интегрированный подход к решению задач строительного материаловедения / В.И. Кондращенко, Д.А. Гребенников, С.В. Гузенко, А.В. Кендюк // Мат-лы международного конгресса Наука и инновации в строительстве SIB-2008. Том 1. Современные проблемы строительного материаловедения и технологии. Книга 1 (А-Н). – Воронеж. 2008. 358 с. (С. 235-240).
[12] – Raabe, D. Computational Materials Science. The Simulation of Materials Microstructures and Properties. / D. Raabe // Weinheim. NY.: Wiley, 1998. 380 p.
[13] – Мизгулин, В.В. Моделирование плотных материалов методом упаковки сферополиэдров / В.В. Мизгулин, Р.М. Кадушников, Д. М. Алиевский, В. М. Алиевский // Компьютерные исследования и моделирование. 2012. Т.4. №4 С.757−766.
[14] – Бондарев, В.Г. Имитационное моделирование структуры плотноупакованных систем твердых дисков / В.Г. Бондарев, Л.В. Мигаль, Т.П. Бондарева // НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ №9 (49) 2008. С.248-260.
[15] – Ульянов, В.И. Математическое обоснование получения упорядоченных структур на основе частиц сферической формы / В.И. Ульянов, А.М. Лавров, О.Н. Клочков, В.В. Чистяков // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. ― Естественные науки‖. 2007. № 2. C.78-92.
[16] – Алгоритм Любачевского–Стилинжера [Электронный ресурс]: Материал из Википедии – свободной энциклопедии: Версия 53287476, сохраненная в 23:27 UTC 12 марта 2013 / Авторы Википедии // Википедия, свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Сан-Франциско: Фонд Викимедиа, 2013.
[17] – Аникеенко, А.В. Структурный анализ монодисперсных упаковок твердых сфер при разной плотности / А.В. Аникеенко, Н.Н. Медведев // Структура и динамика молекулярных систем, 2007 г., Выпуск №1. С.700-705.
[18] – Болкисев, А.А. О применении метода случайного поиска к задаче случайной упаковки твердых частиц для моделирования структуры смесевого твердого топлива / А.А. Болкисев // Вестник удмуртского ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 2. С.106-113.