Одной из простейших упаковок является кубическая упаковка монодисперсных сферических частиц (рисунок 1.а).
Рисунок 1 – Эскиз правильных кубической (а) и гексагональной (б) упаковок монодисперсных сфер
В данном типе упаковки каждая сфера имеет контакт с 6 окружающими ее сферами. Плотность кубической упаковки составляет 52,36 % или π/6 , а зазор между частицами, в который возможно проникновение других (более мелких) частиц, составляет d(√2–1)≈0,4142d [1].
Наиболее плотной является гексагональная упаковка монодисперсных сферических частиц (рисунок 1.б). В данном типе упаковки каждая сфера имеет контакт с 12 окружающими ее сферами. Плотность гексагональной упаковки составляет 74,05 % или π/3√2.
На плоскости сферами являются круги; известны несколько представляющих интерес упаковок кругов на плоскости (рисунок 2). В упаковке Z² центры кругов расположены во всех точках с целыми координатами; в упаковке D2 центры расположены в тех же точках через одну в шахматном порядке.
Рисунок 2 – Правильная упаковка в виде квадратной решетки (а) и гексагональная решетчатая (б) правильная упаковка кругов на плоскости
Если изменить масштаб на координатных осях и повернуть их на 45°, то упаковка Z² перейдет в D2, следовательно, эти упаковки эквивалентны. Чтобы найти их плотность, нужно вычислить, какую долю площади квадрата покрывают круги или их части (т.е. сосчитать площадь закрашенной части квадрата); она равна π/4, или примерно 0,7854 (рисунок 2.а). Плотнейшей упаковкой кругов на плоскости является гексагональная решетчатая упаковка L2. Круговые секторы в этой упаковке покрывают π√3/6 каждого равностороннего треугольника; следовательно, плотность этой упаковки равна приблизительно 0,9069 (рисунок 2.б) [1, 2].
Библиографические ссылки:
[1] – Баранцева, Е.А. Процессы смешивания сыпучих материа-лов: моделирование, оптимизация, расчет / Е.А. Баранцева, В.Е. Мизонов, Ю.В. Хохлова // ГОУ ВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина», Иваново, 2008. – 116 с.
[2] – Слоэн, Н. Дж. А. Упаковка шаров / Н. Дж. А. Слоэн // В мире науки: Scientific American. Издание на русском языке, 1984. №3. С.72-82.